blogg saya: Makalah Struktur Aljabar 2 Ring

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-sifat tertentu.Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan • dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan Lapangan).

Konsep ring adalah suatu konsep struktur struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu,dan

merupakan ring jika

merupakan grup komutatif,dan

memenuhi sifat asosiatif dan distribusi kiri dan kanan.Suatu ring dikatakan komutatif jika

memiliki unsur kesatuan.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas,maka rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Apakah defenisi dari Ring (Gelanggang) ?

2. Bagaimanakah suatu ring dikatakan sebagai ring dengan unsur Kesatuan dan ring Komutatif?

3. Apakah defenisi dari unit ?

4. Bagaimanakah cara membuktikan teorema-teorema B-1 dalam suatu ring R?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah diatas,maka tujuan pada makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Memahami defenisi dari Ring (Gelanggang)

2. Memahami defenisi dari Ring dengan unsur kesatuan dan Ring Komutatif

3. Memahami defenisi dari unit

4. Memahami bagaimana cara membuktikan teorema-teorema B-1 dalam suatu ring R

1.4 Sistematika Penulisan

Bab I berisi latar belakang makalah, tujuan, sistematika penulisan dan rumusan masalah.Bab II berisi tentang Defenisi Ring (Gelanggang),defenisi Ring dengan Unsur Kesatuan,Ring Komutatif,defenisi unit dan teorema B-1.Bab III berisi kesimpulan dan saran

BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Ring (Gelanggang)

Text Box: Defenisi A-1
Suatu himpunan R≠0 dengan dua operasi biner "∘" dan "*",,⟨R,∘,*⟩ dinamakan suatu Ring (Gelanggang) jika :
⟨R,∘⟩ merupakan grup komutatif;
Operasi * pada R memenuhi sifat :
Asosiatif dan
∀x,y,z∈R berlaku :
x*(y∘z)=(x*y)∘(x*z) ( Distribusi Kiri)
(x∘y)*z=(x*z)∘(y*z) ( Distribusi Kanan)

Perhatikan bahwa himpunan bilangan bulat

merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan biasa dan berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian biasa.

Perlu diketahui bahwa kita bebas menentukan mana operasi biner yang pertama dan mana yang kedua,yang penting :

i. Terhadap salah satu operasi biner tersebut memenuhi aksioma grup komutatif

ii. terhadap operasi biner yang satunya memenuhi sifat assosiatif

iii. operasi biner yang memenuhi sifat assosiatif tersebut distributif dari arah kiri dan kanan terhadap operasi yang membuatnya menjadi grup komutatif

Selanjutnya terrhadap operasi biner yang pertama,ring tersebut merupakan suatu grup komutatif,berarti memiliki unsur kesatuan.Unsur kesatuan tersebut dilambangkan dengan 0 dan diberi nama unsur nol dari ring tersebut.Sedangkan terhadap operasi biner yang kedua,ring tidak harus memiliki unsur kesatuan.Jika ring memiliki unsur kesatuan terhadap operasi biner yang kedua,maka ring disebut ring dengan unsur kesatuan.

Text Box: Defenisi A-2 :
Jika <R, +, .> adalah suatu Ring dan terdapat elemen e ϵ R sedemikian hingga berlaku : a .e=e .a=a,∀ a ϵ R maka ⟨R,+,.⟩ disebut ring dengan unsur kesatuan.

Text Box: Defenisi A-3 :
Jika ⟨R,+,∙⟩ suatu ring dan untuk ∀a,b∈R berlaku a∙b=b∙a maka ⟨R,+,∙⟩ disebut Ring Komutatif

Unsur kesatuan pada defenisi A-2 biasanya juga dinotasikan dengan 1. Selanjutnya jika ring dengan operasi biner kedua berlaku sifat komutatif,maka ring disebut ring komutatif.

Contoh 1 :

Himpunan

adalah himpunan semua bilangan bulat.Tunjukkan bahwa himpunan

dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring!

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan bahwa :

merupakan grup komutatif ;
Operasi * pada memenuhi sifat :

a) Asosiatif dan

berlaku :

Distribusi Kiri

Distribusi Kanan

Ambil sembarang x akan ditunjukkan berlaku :

merupakan grup komutatif

(berlaku)

ii. Ambil sembarang x

akan ditunjukkan berlaku :

Akan ditunjukkan berlaku sifat :

Asosiatif

(berlaku)

Distribusi Kiri

( berlaku)

Distribusi Kiri

(

(berlaku)

Dengan terpenuhi i dan ii maka terbuktilah bahwa

merupakan ring (gelanggang)

Contoh 2 :

M adalah himpunan matriks bujur sangkar

dengan entri entri bilangan riil.Tunjukkan bahwa

dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring! Apakah ring komutatif?

Penyelesaian :

Dapat ditunjukkan bahwa :

adalah grup komutatif ;
memenuhi sifat asosiatif
berlaku :

Distribusi Kiri

Distribusi Kanan

Ambil sembarang

dengan :

Akan ditunjukkan berlaku :

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan

memiliki unsur kesatuan :

tidak memenuhi sifat komutatif

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

merupakan ring tak komutatif dengan unsur kesatuan

Contoh 6 :

Himpunan

dengan operasi penjumlahan dan perkalian bulat modulo 6 merupakan ring.

Bukti :

+	0	1	2	3	4	5
0 1 2 3 4 5	0 1 2 3 4 5	1 2 3 4 5 0	2 3 4 5 0 1	3 4 5 0 1 2	4 5 0 1 2 3	4 0 1 2 3 4

Dari tabel di atas ditunjukkan bahwa keempat aksioma grup dipenuhi dan berlaku sifat komutatif sehingga

merupakan grup komutatif dengan unsur nol adalah 0.

Selanjutnya perhatikan tabel Caley berikut untuk

	0	1	2	3	4	5
0 1 2 3 4 5	0 0 0 0 0 0	0 1 2 3 4 5	0 2 4 0 2 4	0 3 0 3 0 3	0 4 2 0 4 2	0 5 4 3 2 1

Dari tabel diperoleh bahwa :

1. sifat tertutup dipenuhi

berlaku

2. Sifat assosiatif dipenuhi

berlaku

3. Sifat distribusi kiri dan kanan dipenuhi

berlaku

dan

Text Box: Defenisi A-4 :
Jika R ring dengan elemen kesatuan I,elemen u∈R disebut unit jika terdapat u^(-1)∈R sedemikian hingga u.u^(-1)= u^(-1)∙u=1

Dengan demikian terbukti bahwa

merupakan ring.

Ndqmafn

Contoh 11 :

1. Pada ring

dapat diperiksa bahwa 1 dan -1 merupakan unit.

2. Pada ring

dapat diperiksa bahwa

merupakan unit

3. Pada contoh 2 telah ditunjukkan bahwa

adalah ring dengan unsur kesatuan

Himpunan

merupakan unit dari

2.2 Sifat-Sifat Ring (Gelanggang)

Teoerema di bawah ini menunjukkan beberapa sifat yang berlaku pada ring.

Text Box: Teorema B-1 :
Dalam suatu ring R,untuk sebarang x,y∈R berlaku∶
0y=y0=0
-(-x)=x
x(-y)=-xy
(-x)y=-xy
(-x)(-y)=xy

Bukti :

Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa :

(Terbukti)

(Terbukti )

Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa :

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Terbukti)

Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa :

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Terbukti)

Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa :

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Terbukti)

Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa :

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Ruas kiri dan kanan dioperasikan dengan

)

(Terbukti)

BAB III
PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian dari materi diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Suatu himpunan

dengan dua operasi biner

dan

dinamakan suatu Ring (Gelanggang) jika :

merupakan grup komutatif;

ii. Operasi * pada R memenuhi sifat :

a) Asosiatif dan

berlaku :

( Distribusi Kiri)

( Distribusi Kanan)

2. Jika <R, +, .> adalah suatu Ring dan terdapat elemen

sedemikian hingga berlaku :

maka

disebut ring dengan unsur kesatuan.

3. Jika

suatu ring dan untuk

berlaku

maka

disebut Ring Komutatif

4. Jika R ring dengan elemen kesatuan I,elemen

disebut unit jika terdapat

sedemikian hingga

3.2 Saran

Dalam sistem pembuatan makalah ini apabila ada kekurangan dalam pembuatan makalah penyusun meminta maaf kepada pembaca untuk menyempurnakan makalah ini.